$x^4-x^2+1=0$ হলে, $x^3+\frac{1}{x^3}$ এর মান কত?

দেওয়া আছে,
$x^4-x^2+1=0$

বা, $\frac{x^4-x^2+1}{x^2}=\frac{0}{x^2}$
[উভয় পার্শ্বে $x^2$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\frac{x^4}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0$

বা, $x^2-1+\frac{1}{x^2}=0$

বা, $x^2+\frac{1}{x^2}=1$

বা, $x^2+\left(\frac{1}{x}\right)^2=1$

বা, $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}=1$

বা, $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=1$

বা, $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=1+2$

বা, $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=3$

বা, $\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}=\sqrt{3}$
[ উভয় পার্শ্বে বর্গমূল করে]

$\therefore x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$

এখন প্রদত্ত রাশি,
$x^3+\frac{1}{x^3}$

$=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(x+\frac{1}{x}\right)$

$=\left(\sqrt{3}\right)^3-3 \cdot \sqrt{3}$

$=3\sqrt3-3\sqrt{3}$

$=0$ [Answer]