দেখাও যে, $1+3+5+7+ \cdots +125$$=169+171+173+ \cdots +209$।
দেখাও যে, $1+3+5+7+ \cdots +125$$=169+171+173+ \cdots +209$।
2 টি উত্তর পাওয়া গেছে
বামপক্ষ,
$1+3+5+7+ \cdots +125$
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ $a=1$ এবং সাধারণ অন্তর $d=3-1=2$
সুতরাং এটি একটি সমান্তর ধারা।
ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $=125$
আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $a+(n-1)d$
বা, $125=1+(n-1)2$
বা, $125=1+2n-2$
বা, $125=2n-1$
বা, $125+1=2n$
বা, $2n=126$
বা, $n=\frac{126}{2}$
$\therefore n=63$
তাহলে, সমান্তর ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি
$S_{n}=\frac{n}{2}\left\lbrace2a+\left(n-1\right)d\right\rbrace$
বা, $S_{63}=\frac{63}{2}\left\lbrace2\cdot1+\left(63-1\right)2\right\rbrace$
বা, $S_{63}=\frac{63}{2}\left\lbrace2+62\times2\right\rbrace$
বা, $S_{63}=\frac{63}{2}\left\lbrace2+124\right\rbrace$
বা, $S_{63}=\frac{63}{2}\times126$
বা, $S_{63}=63\times63$
$\therefore S_{63}=3969$
আবার, ডানপক্ষ,
$=169+171+173+ \cdots +209$
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ $a=169$ এবং সাধারণ অন্তর $d=171-169=2$
সুতরাং এটি একটি সমান্তর ধারা।
ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $209$
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $a+(n-1)d$
বা, $209=169+\left(n-1\right)2$
বা, $209=169+2n-2$
বা, $209=2n+167$
বা, $209-167=2n$
বা, $2n=42$
বা, $n=\frac{42}{2}$
$\therefore n=21$
সুতরাং সমান্তর ধারার প্রথম $21$টি পদের সমষ্টি,
$S_{n}=\frac{n}{2}\left\lbrace2a+\left(n-1\right)d\right\rbrace$
বা, $S_{21}=\frac{21}{2}\left\lbrace2\cdot169+\left(21-1\right)2\right\rbrace$
বা, $S_{21}=\frac{21}{2}\left\lbrace338+20\times2\right\rbrace$
বা, $S_{21}=\frac{21}{2}\left\lbrace338+40\right\rbrace$
বা, $S_{21}=\frac{21}{2}\times378$
বা, $S_{21}=21\times189$
$\therefore S_{21}=3969$
সুতরাং, $1+3+5+7+ \cdots +125$$=169+171+173+ \cdots +209$$ [দেখানো হলো]
$1+3+5+7+ \cdots +125$
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ $a=1$ এবং সাধারণ অন্তর $d=3-1=2$
সুতরাং এটি একটি সমান্তর ধারা।
ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $=125$
আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $a+(n-1)d$
বা, $125=1+(n-1)2$
বা, $125=1+2n-2$
বা, $125=2n-1$
বা, $125+1=2n$
বা, $2n=126$
বা, $n=\frac{126}{2}$
$\therefore n=63$
তাহলে, সমান্তর ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি
$S_{n}=\frac{n}{2}\left\lbrace2a+\left(n-1\right)d\right\rbrace$
বা, $S_{63}=\frac{63}{2}\left\lbrace2\cdot1+\left(63-1\right)2\right\rbrace$
বা, $S_{63}=\frac{63}{2}\left\lbrace2+62\times2\right\rbrace$
বা, $S_{63}=\frac{63}{2}\left\lbrace2+124\right\rbrace$
বা, $S_{63}=\frac{63}{2}\times126$
বা, $S_{63}=63\times63$
$\therefore S_{63}=3969$
আবার, ডানপক্ষ,
$=169+171+173+ \cdots +209$
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ $a=169$ এবং সাধারণ অন্তর $d=171-169=2$
সুতরাং এটি একটি সমান্তর ধারা।
ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $209$
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $a+(n-1)d$
বা, $209=169+\left(n-1\right)2$
বা, $209=169+2n-2$
বা, $209=2n+167$
বা, $209-167=2n$
বা, $2n=42$
বা, $n=\frac{42}{2}$
$\therefore n=21$
সুতরাং সমান্তর ধারার প্রথম $21$টি পদের সমষ্টি,
$S_{n}=\frac{n}{2}\left\lbrace2a+\left(n-1\right)d\right\rbrace$
বা, $S_{21}=\frac{21}{2}\left\lbrace2\cdot169+\left(21-1\right)2\right\rbrace$
বা, $S_{21}=\frac{21}{2}\left\lbrace338+20\times2\right\rbrace$
বা, $S_{21}=\frac{21}{2}\left\lbrace338+40\right\rbrace$
বা, $S_{21}=\frac{21}{2}\times378$
বা, $S_{21}=21\times189$
$\therefore S_{21}=3969$
সুতরাং, $1+3+5+7+ \cdots +125$$=169+171+173+ \cdots +209$$ [দেখানো হলো]
$1+3+5+7+ \cdots +125$ এবং $169+171+173+ \cdots +209$
উভয়ই ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার ধারা।
১ম ধারার পদসংখ্যা$=$শেষপদ $-$ ১ম পদ/সাধারণ অন্তর$+1$ $=\frac{125-1}{2}+1=63$
১ম $n$ সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি $n^2$
$\therefore$ ১ম ধারার সমষ্টি $63^2=3969$
আবার, ২য় ধারার ১ম পদটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার $\frac{169-1}{2}+1=85$ তম পদ এবং শেষ পদটি $\frac{209-1}{2}+1=105$ তম পদ।
এখন, $85$ তম পদ হতে $105$ তম পদ পর্যন্ত ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি $=$ ১ম $105$টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি $-$ ১ম $84$টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি $=105^2-84^2=3969$
সুতরাং, $1+3+5+7+ \cdots +125$$=169+171+173+ \cdots +209$ [দেখানো হলো]